Nota preliminar 1
En estas soluciones, para las conectivas se usan símbolos diferentes a los que hemos visto hasta ahora:
& se usa para la conjunción
+ se usa para disyunción
> se usa para el condicional
<> se usa para el bicondicional
Para la negación se usa el símbolo estándar ¬
Nota preliminar 2
Nuestras conectivas son diádicas. Eso significa que las siguientes no son fórmulas:
p & q & r
p + q + r
Entonces, ¿qué pasa por ejemplo con un enunciado como el siguiente?
Juan es peruano, Betty es boliviana y Cathy es chilena.
Está claro que ese enunciado expresa lo mismo que el siguiente otro:
Juan es peruano, y Betty es boliviana, y Cathy es chilena.
Lo que tenemos aquí son dos conjunciones. Sean p: ‘Juan es peruano’; q: ‘Betty es boliviana’; r: ‘Cathy es chilena’. La estructura lógica, ¿debe entenderse como en (i) o como en (ii)?
(i) (p & q) & r
(ii) p & (q & r)
Respuesta: Cualquiera de las dos maneras está bien. Puesto que la conjunción tiene propiedad asociativa (igual que la suma en aritmética), da igual cómo se agrupen los términos. Pero siempre hay que agruparlos de manera que cada conjunción (&) tenga sus DOS términos prescriptivos.
Mutatis mutandis, lo mismo puede decirse cuando tenemos varias disyunciones, como en:
Comeré sobras, o comeré migas de pan, o comeré basura.
En este caso (con el diccionario p: ‘comeré sobras’; q: ‘comeré migas de pan’; r: ‘comeré basura’), cualquiera de las dos variantes siguientes es correcta:
(i) (p + q) + r
(ii) p + (q + r)
¿Y qué pasa si lo que tenemos es una combinación de conjunción y disyunción? ¿Da lo mismo cómo agruparlas? Respuesta: NO, enfáticamente, NO. Es muy raro que nos encontremos con un caso así en el lenguaje ordinario y que la expresión no sea insanablemente ambigua. Ya veremos algún caso. Pero que quede claro que, por ejemplo, los siguientes pares de fórmulas NO se pueden equiparar:
(p & q) + r ≠ p & (q + r)
(p + q) & r ≠ p + (q & r)
etc.
Ya veremos más adelante por qué no se puede, y qué propiedad podemos mencionar que es de aplicación en casos como éste.
Soluciones
1. Llueve. ATÓM
2. Llueve mucho. ATÓM
3. No llueve.
p: llueve
¬p
4. Llueve y truena.
p: llueve
q: truena
p & q
5. No es cierto que no llueve.
p: llueve
¬¬p
6. Llueve, truena y relampaguea.
p: llueve
q: truena
r: relampaguea
Dos soluciones posibles:
(p & q) & r
p & (q & r)
(Al ser diádica, la conectiva tiene que juntar siempre DOS fórmulas, por eso hay que agrupar de una manera o de la otra).
(La conjunción tiene propiedad asociativa).
7. Si llueve, me mojo.
p: llueve
q: me mojo
p > q
8. Llueve o hay sol.
p: llueve
q: hay sol
p + q
9. No es cierto que ni llueve ni truena
p: llueve
q: truena
¬ (¬p & ¬ q)
10. Llueve, truena y hay relámpagos, pero no hace frío.
p: llueve
q: truena
r: hay relámpagos
s: hace frío
Hay varias maneras de asociar las conjunciones. Tal vez la más “natural” sea:
((p & q) & r) & ¬s
Pero eso no significa que las otras no estén bien. Doy sólo una más, el resto piénsenlas ustedes:
(p & q) & (r & ¬s)
11. Juan vive en París. ATÓM.
12. Juan no vive en París.
p: Juan vive en París
¬p
13. Ni Juan ni María viven en París.
p: Juan vive en París
q: María vive en París
¬p & ¬q
14. Juan no es tonto y Carlos tampoco.
p: Juan es tonto
q: Carlos es tonto
¬p & ¬q
15. Juan vive en París y María vive en París.
p: Juan vive en París
q: María vive en París
p & q
16. No es cierto que no sea verdad que Juan no haya venido.
p: Vino Juan
(alternativa: “Juan vino”; a mí me suena más natural la que puse arriba).
¬¬¬p
17. Juan vive en París y María también.
p: Juan vive en París
q: María vive en París
p & q
18. Juan, Pedro y María viven en París.
p: Juan vive en París
q: Pedro vive en París
r: María vive en París
Fórmula: cf. item #6 (es el mismo caso).
19. Pedro y María son argentinos.
p: Pedro es argentino
q: María es argentina
p & q
20. Pedro y María son primos. ATÓMICA
Si esto les resulta raro, piensen que la #19 se refiere a dos hechos distintos: que Pedro es argentino y que María es argentina. Son dos cosas independientes, separadas. En cambio, que Pedro y María sean primos no son dos hechos sino uno solo. En #19, cada uno de los dos tiene la característica de ser argentino, y por eso se podría reescribirlo mismo así: “Pedro es argentino y María es argentina”. En cambio, en #20, “ser primos” no es una característica (de ninguno de los dos) sino una RELACIÓN que tienen entre ambos. Por eso, a diferencia de lo que podíamos hacer con #19, no podemos reescribir #20 como “Pedro es primo y María es primo”, porque esa expresión no tiene ningún sentido.
Nótese que aunque #19 y #20 son oraciones gramaticalmente idénticas, sus estructuras lógicas no lo son en absoluto. Se aprecia claramente en este ejemplo que estructura gramatical es una cosa y estructura lógica es otra.
21. El gato está vacunado y no correrá peligro.
p: el gato está vacunado
q: el gato correrá peligro
p & ¬q
22. Si el gato no está vacunado, correrá peligro.
p: el gato está vacunado
q: el gato correrá peligro
¬p > q
23. Si el gato no está vacunado, no gozará de buena salud.
p: el gato está vacunado
q: el gato gozará de buena salud
¬p > ¬q
24. Carlos vive en París, y María en Berlín.
p: Carlos vive en París
q: María vive en Berlín
p & q
25. Juan vive en Bahía, pero Pedro no.
p: Carlos vive en Bahía
q: Pedro vive en Bahía
p & ¬q
26. Si Olimpo gana sale campeón, pero si empata no.
p: Olimpo gana
q: Olimpo empata
r: Olimpo sale campeón
(p > r) & (q > ¬ r)
27. Si el gato está vacunado, no correrá peligro.
p: el gato está vacunado
q: el gato correrá peligro
p > ¬ q
28. Yo soy morocho y vos sos rubio.
p: yo soy morocho
q: vos sos rubio
p & q
29. María compró vino, y Alberto pan.
p: María compró vino
q: Alberto compró pan
p & q
30. Los osos polares que viven en los desiertos de Groenlandia están en peligro de extinción. ATÓM.
31. Juan trabajó bastante, pero Luis no.
p: Juan trabajó bastante
q: Luis trabajó bastante
p & ¬q
32. Si el perro gruñe o ladra, entonces está enojado.
p: el perro gruñe
q: el perro ladra
r: el perro está enojado
(p + q) > r
33. Juan trajo bombones, pero Ricardo no.
p: Juan trajo bombones
q: Ricardo trajo bombones
p & q
34. Si el Bobby está enojado, gruñe y ladra.
p: el Bobby está enojado
q: el Bobby gruñe
r: el Bobby ladra
p > (q & r)
35. Si el Bobby gruñe y ladra, está enojado.
p: el Bobby está enojado
q: el Bobby gruñe
r: el Bobby ladra
(q & r) > p
36. Si el perro no está enojado, no gruñe ni ladra.
p: el perro gruñe
q: el perro ladra
r: el perro está enojado
¬ r > (¬p & ¬ q)
37. Si el Bobby no está enojado, no gruñe o no ladra.
p: el Bobby está enojado
q: el Bobby gruñe
r: el Bobby ladra
¬ r > (¬p + ¬ q)
38. El perro gruñe y ladra, pero no está enojado.
p: el perro gruñe
q: el perro ladra
r: el perro está enojado
(p & q) + ¬r
39. Si el perro no gruñe ni ladra, no está enojado.
p: el perro gruñe
q: el perro ladra
r: el perro está enojado
(¬p & ¬ q) > ¬ r
40. Si el Bobby no gruñe o no ladra, no está enojado.
p: el Bobby está enojado
q: el Bobby gruñe
r: el Bobby ladra
(¬p + ¬ q) > ¬r
41. Si el perro gruñe, entonces si ladra está enojado.
p: el perro gruñe
q: el perro ladra
r: el perro está enojado
p > (q > r)
(ATENCIÓN A LOS PARÉNTESIS!)
42. La falta de alimento ha diezmado la fauna de la zona cordillerana del noroeste argentino. ATÓM
43. Moreno y Belgrano fueron contemporáneos de Saavedra.
p: Moreno fue contemporáneo de Saavedra
q: Belgrano fue contemporáneo de Saavedra
p & q
44. Las celulares no son todos caros.
p: todos los celulares son caros
(variante: los celulares son todos caros)
¬p
45. No te voy a ir a ver esta semana, pero si necesitás ayuda y me llamás, te la mando.
p: iré a verte esta semana
q: necesitás ayuda
r: me llamás
s: te mando ayuda
¬ p & ((q & r) > s)
46. No iremos esta semana, sino la otra.
p: iremos esta semana
q: iremos la otra semana
¬p & q
47. No iremos esta semana, pero si durante la próxima no llueve, viajaremos de inmediato.
p: iremos esta semana
q: la próxima semana lloverá
r: la próxima semana viajaremos de inmediato
¬p & (¬q > r)
48. Para este proyecto, los arquitectos y los ingenieros trabajaron mucho.
p: los arquitectos trabajaron mucho para este proyecto
q: los ingenieros trabajaron mucho para este proyecto
p & q
49. Para este proyecto, los arquitectos y los ingenieros trabajaron juntos. ATÓMICA
Cf. #19 y #20
50. No todo lo que brilla es oro. p: todo lo que brilla es oro ¬p 51. Cuando llueve, hace frío. p: llueve q: hace frío p > q
52. Olimpo le ganará a Racing o RiBer perderá con Boca y Rosario Central goleará a Independiente.
Esta oración es ambigua. Exhibe ambigüedad estructural, y sus dos interpretaciones tiene debido a ello, cada una, una forma lógica diferente. El diccionario, es único, porque la ambigüedad no se encuentra en ninguno de los enunciados atómicos componentes, sino en el modo en que éstos están conectados.
p: Olimpo le ganará a Racing q: RiBer perderá con Boca r: Rosario Central goleará a Independiente Primera interpretación: “[Olimpo le ganará a Racing] o [RiBer perderá con Boca y Rosario Central goleará a Independiente]”. FL: p + (q & r) Segunda interpretación: “[Olimpo le ganará a Racing o RiBer perderá con Boca] y [Rosario Central goleará a Independiente]”. FL: (p + q) & r Notar que las fórmulas difieren en la ubicación de los paréntesis. Puesto que no son todas conjunciones ni todas disyunciones, sino una y una, no es aplicable la propiedad asociativa. Cuando hayamos estudiado tablas de verdad y equivalencias lógicas, usted podrá comprobar por sí mismo que ambas fórmulas no son equivalentes (y ello pone de manifiesto la efectiva ambigüedad de la oración).
53. Me hicieron la primera pregunta y la contesté, pero me hicieron la segunda y no la contesté. p: me hicieron la primera pregunta q: respondí la primera pregunta r: me hicieron la segunda pregunta s: respondí la segunda pregunta (p & q) & (r & ¬s) Atención a lo que ocurre con los pronombres, y consecuentemente atención para no meter la pata en el diccionario en casos como éste, en el caso de la sub-oración “la contesté”)
54. Carlos no saldrá si tiene trabajo que hacer en casa o recibe alguna visita. p: Carlos saldrá q: Carlos tiene trabajo que hacer en casa r: Carlos recibirá alguna visita (q + r) > ¬p Atención al orden “invertido” del condicional en la oración (es decir en el lenguaje ordinario).
55. Iré si y sólo si me llamás. p: iré q: me llamás p = q
56. Cuando cae la bolsa se produce una corrida. p: cae la bolsa q: se produce una corrida p > q 57. Si Juan llega hoy o mañana, no vendrá el viernes. p: Juan llega hoy q: Juan llega mañana r: Juan vendrá el viernes (p + q) > ¬r
58. Iré siempre y cuando vaya tu amiga. p: iré q: irá tu amiga p = q
59. Si no llueve pero hace frío, llamaré por teléfono y no viajaré. p: llueve q: hace frío r: llamaré por teléfono s: viajaré (¬ p & q) > (r & ¬ s)
60. No pienso o existo si y sólo si no es verdad que pienso pero no existo. p: pienso q: existo (¬p + q) = ¬ (p & ¬ q)
61. Si no es verdad que ni pienso ni existo, entonces pienso y existo. p: pienso q: existo ¬ (¬p & ¬q) > (p & q)
62. No es cierto que si hay viento no lloverá. p: hay viento q: lloverá ¬ (p > ¬ q)
63. Si llueve pero no hace frío, mañana saldrá el sol. p: llueve q: hace frío r: mañana saldrá el sol (p & ¬q) > r
64. No lloverá o si llueve bajará la temperatura. p: lloverá q: bajará la temperatura ¬p + (p > q)
65. Si se realiza una reunión hoy o mañana, los alumnos y los profesores concurrirán. p: se realiza una reunión hoy q: se realiza una reunión mañana r: los alumnos concurrirán s: los profesores concurrirán (p + q) > (r & s) 66. Concurriremos a la reunión siempre y cuando no demoren el envío de las invitaciones. p: concurriremos a la reunión q: se demora el envío de las invitaciones (“demoran” funciona aquí como un impersonal, como en los titulares de los diarios). p = ¬q
67. Cuando se producen fuertes tormentas no salen los vuelos de cabotaje ni los internacionales. p: se producen fuertes tormentas q: los vuelos de cabotaje salen r: los vuelos internacionales salen p > (¬q & ¬ r)
